Сборник задач по математическому анализу






НазваниеСборник задач по математическому анализу
страница1/3
Дата публикации24.11.2013
Размер0.63 Mb.
ТипСборник задач
ley.se-todo.com > Математика > Сборник задач
  1   2   3


Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Москва

Издательство НЦНМО

2010
Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.

Сборник задач по математическому анализу. Функция многих переменных. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. – М.: НЦНМО, 2010. ???? с.
ISBN ????????
Сборник задач составлен в соответствии с программой по математическому анализу для подготовки студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология, политология. Содержит задачи по следующим разделам: область определения, линии уровня функции нескольких переменных, частные производные, производная сложной функции, градиент, производная по направлению, первый и второй дифференциал, касательная плоскость, приближенные вычисления, формула Тейлора, локальный экстремум функции нескольких переменных, локальный условный экстремум функции нескольких переменных, двойные интегралы.

ISBN ???????? © Коллектив авторов

© Издательство НЦНМО, 2010

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4

1 Область определения, линии уровня функции нескольких переменных 5

2. Частные производные. Производная сложной функции.

Градиент. Производная по направлению 7

3. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость 14

4. Приближенные вычисления. Формула Тейлора 20

5. Локальный экстремум функции нескольких переменных 23

6. Локальный условный экстремум функции нескольких

переменных 25

7. Двойные интегралы 28
Ответы 32

Предисловие
Настоящий сборник задач посвящен одному из важнейших разделов высшей математики - основам дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных. Кроме того, в него включены некоторые первичные сведения о дифференциальных уравнениях. Сборник составлен в соответствии с программами курса «Алгебра и анализ», читаемого на различных факультетах ГУ-ВШЭ. Изложение материала в предлагаемом сборнике ориентировано на углубленное изучение фундаментальных математических идей и методов, широко применяемых в исследовании социально-экономических процессов и явлений.

Для облегчения восприятия и удобства пользования весь материал разбит на отдельные разделы. Здесь прежде всего представлены задачи, связанные с освоением техникой дифференцирования функций нескольких переменных и нахождения экстремумов этих функций. Отдельный раздел посвящен двойным интегралам. Последний раздел сборника содержит задачи по дифференциальным уравнениям. Большая часть задач снабжена ответами.

При подборе примеров и задач привлекались разнообразные источники и, прежде всего, те книги, которые вошли в приведенный в конце сборника библиографический список.
1. Область определения, линии уровня функции нескольких переменных.


Изобразите области определения функций:
1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9. .

1.10. .
Постройте линии уровня функций:
1.11. .

1.12. .

1.13. .

1.14. .

1.15. .

1.16. .

1.17. .

1.18. .

1.19. .

1.20. .
^ 2. Частные производные. Производная сложной функции.

Градиент. Производная по направлению.


Найдите частные производные первого порядка от следующих функций:
2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

2.8. .
2.9. .

2.10. .

2.11. .

2.12. .

2.13. .

2.14. .

2.15. .

2.16. .

2.17. .

2.18. .

2.19. .

2.20.
2.21. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.22. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.23. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.24. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.25. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.26. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

2.27. Найдите и , если и .

2.28. Найдите и , если и .
2.29. Найдите , и , если и .

2.30. Найдите , и , если и .

2.31. Найдите , если , и .

2.32. Найдите , если , и .

2.33. Найдите , если , и .

2.34. Найдите , если , и .

2.35. Найдите , если , и .

2.36. Найдите , если , и .

2.37. Найдите и , если и , .

2.38. Найдите и , если и , .

2.39. Найдите и , если и , .

2.40. Найдите и , если и , .

2.41. Найдите и , если и .

2.42. Найдите и , если и .

2.43. Найдите и , если и .
Найдите производные и функции , где и :

2.44. , , .

2.45. , , .

2.46. , , .

2.47. , , .

2.48. , , .

2.49. Функция . Записав , где , , найти как производную сложной функции. В ответе укажите .

Найдите в указанной точке первые частные производные функции , заданной неявно уравнением:
2.50. , (0; 1).

2.51. , (1; 0).

2.52. , .

2.53. , (1; 1;-2).

2.54. , .

2.55. Найдите производную функции , по направлению в точке .

2.56. Найдите производную функции , по направлению в точке .

2.57. Найдите производную функции , по направлению в точке .

2.58. Найдите производную функции в точке по направлению , где .

2.59. Найдите производную функции в точке по направлению , где .

2.60. Найдите производную функции в точке по направлению , где .

2.61. Найдите производную функции в точке по направлению луча, образующего с осью x угол .

2.62. Найдите производную функции в точке по направлению луча, образующего одинаковые углы со всеми координатными осями.

2.63. Найдите производную функции , по направлению в точке , если .

2.64. Найдите производную функции , по направлению в точке , если .

2.65. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная функции в точке достигает наибольшего значения.

2.66. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная функции в точке достигает наибольшего значения.

2.67. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная функции в точке достигает наибольшего значения.

2.68. Дана функция , точка и вектор . При каком значении параметра производная функции в точке по направлению будет максимальна?

2.69. Дана функция , точка и вектор . При каком значении параметра производная функции в точке по направлению будет минимальна?

2.70. Найти приближенно производную функции f(P) в точке A по направлению вектора если f(A) = 5, f(B) = 5.06 и длина AB равна 0.03.

2.71. Найти приближенно значение f(B), если f(A) = 6, длина отрезка AB равна 0.02, , а косинус угла между этим градиентом и вектором –AB равен .


^ 3. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.


3.1. Найдите приращение и дифференциал функции в точке (1; 1).

3.2. Найдите приращение и дифференциал функции в точке (1; 1).

3.3. Найдите первый дифференциал функции f в данной точке

а) , (1; 1)

б) , (2; 1)

в) , (1; 0; 1)

г) , (3; 2; 1)

г) , (1; 1; 1)
3.4. Найдите первый дифференциал функции
а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

3.5. Найдите все частные производные второго порядка
а)

б)

в)

г)

д)

е)
3.6. Покажите, что если , то .

3.7. Покажите, что если , то .

3.8. Найдите все производные третьего порядка
а)

б)

в)

г)

3.9. Найдите вторые дифференциалы
а)

б)

в)

г)

д)

е)

3.10. Найдите точки, в которых если
а)

б)

в)

3.11. Найдите точки, в которых дифференциал функции равен нулю
а)

б)

3.12. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(2; 6), B(2; 6,01), C(2,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.13. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 7), B(3; 7,01), C(3,02; 7). Найти приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.14. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 6), B(3; 6,01), C(3,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.15. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (2;-1; 1).

3.16. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (1; 1; 1).

3.17. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (1; 0; 0).

3.18. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (2; 1; 3).

3.19. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (3; 2; 2).

3.20. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (1; 1; 2).

3.21. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (2; 1; 0).

3.22. К поверхности проведите касательные плоскости, параллельные плоскости .

3.23. К поверхности проведите касательные плоскости, параллельные плоскости .

3.24. К сфере проведите касательную плоскость, перпендикулярную плоскостям и .

3.25 Дана дифференцируемая функция двух переменных f(P) = f(x; y), у которой известны значения f(A) = –7, f(B) = –7.02, f(С) = –7.04 в точках А(6; 4), B(6.01; 4), C(6; 3,98). Найдите приближенно:

а) Частные производные и полный дифференциал в точке A.

б) Значение функции в точке D(5.95; 4.02).

в) Касательную плоскость к поверхности z = f(P) в точке А.

г) Нормаль к поверхности графика z = f(P) в точке А.

д) Градиент в точке А.

е) Производную в точке A по направ­лению, составляющему угол с градиентом.

ж) Производную в точке A по направлению к точке D (с помощью градиента и по определению).

з) Линию уровня, равного f(A), в окрестности точки A (при дополнительном предположении, что в этой окрестности функция f(P) имеет непрерывные частные производные).

^ 4. Приближенные вычисления. Формула Тейлора.


4.1. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенное значение , исходя из значения функции при , .

4.2. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенное значение , исходя из значения функции при , .

4.3. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.4. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.5. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.6. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.7. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.8. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно

4.9. На сколько изменится диагональ и площадь прямоугольника со сторонами м и м, если первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона уменьшится на 5 мм.

4.10. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа ( ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 5% и 7%.

4.11. На сколько процентов приближенно изменится спрос, описываемый функцией , где n- число производителей товара, а p- цена товара, если число производителей товара уменьшится на 1%, а цена возрастет на 1%. На рынке товара имеется 7 производителей, цена товара составляет 3 ед.

4.12. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (1;-2).

4.13. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (-2; 1).

4.14. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (0; 1; 2).

4.15. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1; 1) с точностью до членов второго порядка малости.

4.16. Разложите по формуле Тейлора в окрестности точки (0; 2) до , , функцию .

4.17. Разложите по формуле Тейлора в окрестности точки (0; 0; 1) до , , функцию .

4.18. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1) с точностью до членов второго порядка малости.

4.19. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (0; 0) с точностью до членов второго порядка малости.

4.20. Разложите функцию по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1) с точностью до членов второго порядка малости.


^ 5. Локальный экстремум функции нескольких переменных.


Найдите локальные экстремумы функций
5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9. .

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

6. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.


6.1. Найдите условные локальные экстремумы функции при .

6.2. Найдите условные локальные экстремумы функции при .

6.3. Найдите условные локальные экстремумы функции при .

6.4. Найдите условные локальные экстремумы функции при .

6.5. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.6. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.7.Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.8. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.9. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.10. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.11. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.12. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.13. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.14. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.15. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .


6.5. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии

6.17. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.18. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .

6.19. Исследуйте точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй: d2L(A,λ) = 7(dx)2 – 4dxdy – 5(dy)2 – 2dxdλ+ 6dydλ.

6.20. Исследуйте точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй: d2L(A,λ) = 2(dx)2 – 20dxdy – 5(dy)2 + 4dxdλ – 10dydλ.

6.21. Градиент функции задан на оси : . Найдите в точках оси производные функции по направлению оси и исследуйте функцию на условный экстремум на линии условия .

6.22. Градиент функции задан на оси : . Найдите в точках оси производные функции по направлению оси и исследуйте функцию на условный экстремум на линии условия .

6.23. На линии условия φ(x; y) = 2x + y – 1 = 0 в семи точках даны градиенты функции двух переменных f(P) = f(x; y): в точке A(-3;7) градиент равен (3;1), в точке B(-2;5) – (2;1), в C(-1;3) – (3;1), в D(0;1) – (4;2), в E(1;-1) – (1;1), в F(2;-3) – (6;3), в G(3;-5) – (3;1). Все точки “подозрительные” на условный экстремум находятся среди указанных. Найти эти точки и исследовать их на условный экстремум.

6.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при условии .

6.25. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при условии .

6.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при условии .

6.27. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при условии .

6.28. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной осями координат и прямой .

6.29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной осями координат и прямой .

6.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной осями координат и прямой .

6.31. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной прямыми , , , .

6.32. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области , .

6.33. Найдите наибольшее значение функции при условиях , , , . Сделайте рисунок.

6.34. Найдите наименьшее значение функции при условиях , , , . Сделайте рисунок.

6.35. Найдите наибольшее значение функции при условиях , , , . Сделайте рисунок.

6.36. Найдите наименьшее значение функции при условиях , , , . Сделайте рисунок.

6.37. Найдите наибольшее значение функции , если , , , , , . Сделайте рисунок.

^ 8. Двойные интегралы


Найдите интеграл . Сравните результат с объемом соответствующего тела.
7.1. , .

7.2. , .

7.3. , .

7.4. , .

7.5. , .

7.6. , .

7.7. , .

7.8. , .

7.9. , .

7.10. , .

7.11. , .

7.12. , .

Изобразите область и найдите интеграл . Объясните совпадение ответов в пунктах а и б.
7.13.

а) , .

б) , .

7.14.

а) , .

б) , .

7.15.

а) , .

б) , .

Изобразите область интегрирования на плоскости. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
7.16. .

7.17. .

7.18. .

7.19. .

7.20.

7.21.

7.22.

7.23.

Изобразите область интегрирования на плоскости. Измените порядок интегрирования и найдите интеграл.
7.24. .

7.25. .


8. Дополнительные задачи


8.1. Найдите все точки , для которых векторы и коллинеарны и , если задана точка .

8.2. Найдите время , необходимое для перехода из точки в точку объекта, движущегося со скоростью .

8.3. Объект, двигаясь по плоскости последовательно со скоростями и , попадает из точки в точку . Найдите соответствующие временные интервалы и , а также точку смены скоростей на .

8.4. Объект, двигаясь последовательно со скоростями , и , попадает из точки в точку . Найдите соответствующие временные интервалы , и , а также точки и смены скоростей на и на .

8.5. Найдите величину параметра , если угол между векторами и равен .

8.6. Найдите величину параметра , если угол между векторами и равен .

8.7. Найдите величину параметра , если угол между векторами и равен .

8.8. Найдите величину параметра , если угол между векторами и равен .

8.9. Найдите косинус угла между вектором и вектором – проекцией вектора на координатную плоскость xOy.

8.9. .
8.10. Найдите каноническое уравнение прямой, полученной отражением прямой



относительно координатной плоскости yOz.

8.10. .
8.11. Найдите параметрическое уравнение прямой, полученной отражением прямой



относительно координатной оси Oz.

8.11. .
8.12. Найдите общее уравнение плоскости, полученной отражением плоскости

относительно координатной плоскости xOz.

8.12. .
8.13. Найдите общее уравнение плоскости, полученной отражением плоскости

относительно координатной оси Ox.

8.14. На прямой взяты две точки A и B на расстоянии друг от друга. На каком расстоянии друг от друга лежат их проекции и на ось ?
8.15. При каких значениях параметра x площадь параллелограмма, построенного на векторах (x; 3) и (3; 4), больше площади параллелограмма, построенного на векторах (2; 3) и (3; 4)?

8.16. При каких значениях параметра p объем параллелепипеда, построенного на векторах , и меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах , и ?

8.17. Найдите расстояние от сферы до точки .

8.18. Найдите расстояние от сферы до сферы .

.
8.19. Найдите расстояние от сферы до сферы .

8.20. Найдите точку касания сфер и .

8.21. Найдите точку касания сфер и .


  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по математическому анализу
Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии...

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по математическому анализу
«Алгебра и анализ», читаемого на различных факультетах гу-вшэ. Изложение материала в предлагаемом сборнике ориентировано на углубленное...

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по математическому анализу
Студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология, политология. Содержит задачи по следующим разделам: предел последовательности,...

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по математическому анализу
Студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология, политология. Содержит задачи по следующим разделам: предел последовательности,...

Сборник задач по математическому анализу iconПримерная программа дисциплины «Математический анализ»
Получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в...

Сборник задач по математическому анализу iconРешение задач и теоретических упражнений необходимо представить в...
Удк. 519. 6 Расчетные задания по математическому анализу для студентов заочного отделения факультета вычислительной математики и...

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по логическому программированию для студентов специальности «030100 информатика»
Сборник задач по логическому программированию/Сост. А. М. Акбашева, Р. Р. Камалов. – Глазов, ггпи, 2006 – 68 с

Сборник задач по математическому анализу iconМикроэкономика сборник задач и упражнений
Сборник задач и упражнений по курсу «Микроэкономика». Учебно-методическое пособие. – М.: Ргу нефти и газа, 2010. – 53

Сборник задач по математическому анализу iconЮго-западный государственный университет
Контрольные задания по алгебре и аналитической геометрии и математическому анализу для студентов фдпо ино специальности 220100 Вычислительные...

Сборник задач по математическому анализу iconСборник задач по дисциплине «Учет анализ и контроль внешнеэкономической деятельности»
Сборник задач по дисциплине «Учет, анализ и контроль внешнеэкономической деятельности» является одним из этапов изучения. Решение...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
ley.se-todo.com

Поиск